L’énigme de Fermat passée au crible

Mis à jour le 5 janvier 2019

« La conviction profonde et partagée que Fermat n’a pas possédé une démonstration de son théorème vient de la longue histoire des tentatives faites pour l’établir. […] Les suiveurs des suiveurs, dans toutes les situations de ce genre, ne savent plus rien de ce qui a motivé les fondateurs […]. Ils pensent savoir tout ce qu’il y a à savoir, dès les commencements. » Jacques Roubaud, MATHÉMATIQUE : (1997)

« Quoi qu’il en soit, cette approche, où le théorème de Fermat n’est qu’un corollaire très alléchant mais mineur, repose sur des techniques de représentations galoisiennes récentes. Reste possible qu’une démonstration élémentaire directe puisse être trouvée. » Catherine Goldstein, Un théorème de Fermat et ses lecteurs (1995)

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I. Il existe au moins 3 versions différentes de la deuxième observation de l’Arithmetica de 1670. Fermat aurait-il crypté sa note ? (début d’une recherche plus loin dans l’article)

Version 1 (page 61 du Livre II), consultée ici, au 1/3 de la page internet, page 141/488 dans la marge supérieure noire, où le “i” final est remplacé par un “s” surmonté d’un point, «le i est inclus (s’ajoute) dans le s» : en décryptant on peut lire “is”, qui signifie en latin lui, celui-ci > ce mot : detexi, parfait de l’indicatif, du verbe detego : ôter ce qui couvre, dévoiler, découvrir, mettre au jour, mettre à découvert.

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Version 2, consultée ici, où le t ressemble plutôt à une jolie tache bien étudiée. Sortie de son contexte, on ne peut y voir qu’une tache. Le point final est lui aussi exagérément surchargé, comme pour souligner l’importance de la surcharge sur le t : décryptage effectué par monsieur Roland Franquart : « non caperet “t”» (ne pas contenir t).

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Version 3, consultée ici. Une version quasiment sans surcharge, sauf sur le point final.

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Ceci est un montage ! (collage des versions 1 et 2). Les contempteurs auraient pu dire que Fermat ne savait même pas écrire correctement… 😉

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II. Pourquoi ce site ?

III. Intermède grothendickien

IV. Les 48 observations ont-elles été écrites “dans la marge” ?

V. Fermat pensait-il vraiment sa conjecture sur les nombres de la forme 2²ⁿ+1 était vraie ?

VI. Le latin, « marqueur du sublime par excellence » dans les mathématiques

VII. Vēnī, vīdī, vīcī, văle : 4 mots écrits par Pierre Fermat entre les lignes

VIII. Réflexions au fil de l’eau

Remerciements

Bibliographie restreinte

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II. Pourquoi ce site ?

Bonjour et bienvenue à tous les admirateurs, professionnels et amateurs, de Pierre Fermat. Depuis longtemps je pensais créer un site pour exposer le fruit de longues recherches sur l’énigme du “Grand Théorème de Fermat”. Le temps m’avait manqué jusqu’à maintenant, je m’y suis enfin décidé. L’objectif sera de faire état de tous les arguments trouvés à ce jour en faveur de l’existence d’une preuve du théorème par Fermat lui-même. Bien qu’ayant nourri depuis longtemps un goût prononcé pour la mathématique et la physique (ah ! la découverte, dans ma jeunesse, des intégrales, de la dynamique, des si belles, si simples formules, qui paraissent si logiques, si évidentes), je ne suis pas mathématicien, seulement un anonyme un peu polymathe, un peu philosophe (autodidacte) et surtout un grand curieux. Parce que je crois que si la motivation est là, on peut approcher une compréhension des mystères les plus importants de la vie, ma véritable passion est depuis longtemps la théologie. Je pense en effet que de nombreux “mystères”, quand on pratique une saine théologie, cessent d’être totalement insondables, hors de portée (dans leurs grandes lignes), de nos esprits très limités. Si leur étude, qui demande une grande motivation, de nombreuses méditations, est complexe, ces mystères acquièrent petit à petit comme une apparence d’évidence, formant dans leur ensemble une architecture d’une logique admirable, qui contribue au plus haut point à nous mettre en accord avec le monde, avec nous-mêmes, nous rendant de plus en plus lucides et philosophes – un philosophe étant aussi pour moi quelqu’un qui abhorre la pensée unique, aime explorer de nouvelles voies, ou des voies déjà largement explorées par de grands esprits mais très peu connues du commun des mortels. Sur lui, le qu’en dira-t-on n’a que peu de prise, au contraire les mécanismes de la pensée unique lui deviennent de plus en plus familiers et contribuent à augmenter sa lucidité, affermir son individuation qui le préserve d’un panurgisme psychologique en constante expansion. Je veux ici faire une digression d’ordre intime, elle pourra aider à faire comprendre ma démarche. Cette prédilection pour les grandes énigmes, ce goût prononcé aussi pour répondre aux nombreux “pourquoi” que je me pose, je ne les ai pas toujours eus. C’est après que de trop gros bouleversements aient surgi dans ma vie, que j’ai donc été obligé d’effectuer une psychanalyse, obligé aussi, en parallèle, de retrouver – ou plutôt trouver – un chemin de foi (une seule de ces deux entreprises ne pouvait suffire), qu’est né en moi ce besoin vital d’appréhender au plus près les grandes questions sur la vie, le monde, sur l’homme et sur moi-même. Il y a une très bonne raison pour laquelle ce besoin a pu venir avec autant de force, de nécessité : le désir de justice que je sens partout autour de moi – même s’il est loin d’être toujours bien orienté –, je l’ai aussi bien sûr, et comme la vie, pour moi maintenant, a forcément un sens, la justice voulait que je prenne une forte revanche sur les trente premières années de ma vie qui, je vous l’avoue, ont en général été bien ternes – beaucoup trop ternes. J’ai déjà dit que de nombreux sujets occupent ma pensée, et lorsque j’ai commencé il y a une vingtaine d’années à m’intéresser à Pierre (de) Fermat et à son grand théorème, voyant combien de nombreux mathématiciens très académiques prétendaient (s’évertuaient parfois à clamer, sans jamais donner une seule raison scientifique valable) que « Fermat n’a jamais possédé une preuve de son théorème » – “puisque qu’il ne disposait pas des outils disponibles à notre époque” (sic !) – j’ai trouvé là non seulement une grande incohérence, mais surtout un exemple de pensée unique intéressant sur une question mathématique passionnante par de nombreux aspects. Ce sujet d’étude, une énigme que l’on a trop souvent prétendue résolue (« Fermat n’a jamais trouvé »), parfois d’une manière très péremptoire, m’a donc tout de suite intéressé. J’ai déjà dit que je m’intéressais aux grandes énigmes, là j’en découvrais une (vers 1995) qui datait de plus de trois siècles. Et non seulement on continuait toujours à s’y intéresser (les années 1993 et 1994 l’ont bien sûr sortie de l’oubli) mais elle posait toujours question chez les historiens. Surtout, le sort qui lui avait été réservé ma paraissait profondément injuste, absurde même. Cette façon inique et moutonnière de l’évacuer, au début m’a surpris, et même révolté. Plus mes recherches avançaient, et moins elle m’a surpris, moins contrarié. Quelques uns de ces savants avaient une bonne (?) raison d’être aussi péremptoires, ils étaient en effet envahis de milliers de lettres d’admirateurs de Fermat leur présentant une démonstration personnelle et bien sûr toujours fausse (d’autres savants avaient de bien mauvaises raisons). En 1908, Paul Wolfskehl avait même créé un prix de 100 000 marks qui récompenserait la première démonstration du théorème. Des « démonstrations » plus ou moins farfelues commencèrent à s’accumuler sur le bureau du professeur Edmund Landau, chef du Département des mathématiques à l’université de Göttingen. Il avait été chargé d’examiner toutes ces propositions de preuve. Leur nombre augmenta tellement que son travail personnel en pâtit. Il trouva alors une solution radicale, il fit imprimer en grande quantité des modèles de réponses quasiment prêts à l’emploi :

Cher…

Je vous remercie pour votre manuscrit sur la démonstration du Dernier théorème de Fermat. La première erreur se trouve : Page… , ligne… Cela infirme la démonstration.

Professeur E.M. Landau.

Puis il pria ses élèves de remplir les blancs. Les envois ne cessèrent pas pour autant, arrivant sur les bureaux de mathématiciens du monde entier. L’atmosphère autour de ce fameux théorème devenant de plus en plus troublée jusqu’en 1994, date de la découverte d’une preuve moderne après 324 ans d’efforts acharnés, il semble que l’inconscient collectif et l’effet de groupe à l’œuvre dans les hautes sphères de la discipline aient décidé qu’il faille arrêter là les dégâts et discréditer encore plus, par tous les moyens possibles, Fermat et son Grand Théorème. Rendons ici hommage aux nombreux savants qui ont fait preuve de retenue et de sagesse. Une autre raison importante qui a fait douter historiens et mathématiciens, est que s’ils connaissaient bien les travaux de Fermat, ils connaissaient beaucoup moins bien l’homme. On ne soulignera jamais assez l’importance, pour les mathématiques, de leur histoire, de la connaissance des méthodes propres à chaque savant, de l’époque à laquelle ils vivaient. Citons deux mathématiciens contemporains qui disent qu’on ne peut se prononcer, ni dans un sens ni dans l’autre : d’abord Catherine Goldstein, mathématicienne, chercheur et historienne des mathématiques, directrice de recherches à l’Institut de mathématiques de Jussieu-PRG (CNRS), sans doute la meilleure spécialiste de Fermat. Son étude approfondie des travaux du mathématicien, de ses méthodes, du contexte de l’époque, l’ont amenée à conclure qu’on ne peut savoir s’il avait une preuve – elle aussi est pourtant bombardée de textes visant à prouver qu’il avait prouvé son théorème. Lorsque je lui ai demandé son opinion sur l’éventuelle existence d’une preuve par Fermat, elle m’a répondu : « Honnêtement, je sais que nous n’en savons rien ! » De même Jacques Roubaub ne suit pas les suiveurs des suiveurs. Pourtant nombreux sont les savants qui doutent (quand ils ne sont pas persuadés du contraire) que Fermat ait eu une preuve de son théorème, une preuve beaucoup plus courte et un peu plus accessible que celle trouvée par Andrew Wiles en 1994. Cette fantastique découverte suscita bien sûr beaucoup d’enthousiasme, mêlé parfois à un peu de tristesse : pour prouver un énoncé très élémentaire il avait fallu écrire pratiquement un traité de mathématiques, et d’une complexité extrême. En apprenant la nouvelle, Jean Bénabou fit part de sa joie à Jacques Roubaud en ajoutant avec quelque humeur : « C’est comme si on avait conquis l’Everest avec des fusées de la Nasa ». Au fil du temps cette note du XVII^e siècle fut très approximativement traduite dans différentes versions auxquelles les mathématiciens se sont toujours fiés puisque seul leur importait le théorème en lui-même, qui y était parfaitement énoncé. Le texte latin lui-même a parfois été très mal rapporté, ce qui pouvait donner des traductions assez savoureuses, telles que « Dormons » (Cubem). Voici une traduction fidèle de cet énoncé. D’abord la note en latin :

Cubum autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadratoquadratos & generaliter nullam in infinitum vltra quadratum potestatem in duos eiusdem nominis fas est diuidere cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet.

• demonstrationem est l’accusatif féminin, il se traduit par démonstration, description, raisonnement rigoureux.
• mirabilem se traduit par admirable, étonnante, merveilleuse, singulière. C’est aussi un accusatif.
• detexi est le parfait de l’indicatif, du verbe detego : j’ai ôté ce qui couvrait (« découvert »), dévoilé, mis à découvert, mis au jour. S’il avait voulu utiliser le mot latin signifiant l’expression “j’ai découvert”, il aurait employé le mot inveni (parfait de l’indicatif invenio : découvrir, trouver). Le latin est une langue très subtile, délicate à manier. Notons en outre que dans ses écrits en français, quand il évoque la (ou les) découverte(s) sur les nombres, il emploie le mot “invention”, comme ici :
• « Cette proposition sert à l’invention des nombres qui sont à leurs parties aliquotes en raison donnée » .« J’ai démontré ensuite cette proposition qui sert à l’invention des nombres premiers »,
• Sane peut se traduire de deux façons : 1. complètement, de manière absolue, tout à fait. 2.véritablement, réellement, vraiment. C’est la forme masculine du vocatif. Il ne s’applique pas à demonstrationem, qui est féminin, mais à l’auteur > « j’ai complètement (véritablement) dévoilé (mis au jour) ». Le contraire de detexi, texi, se traduit par « j’ai couvert » (ou recouvert, caché, dissimulé). Remarquons que detexi est aussi l’infinitif passif du verbe detexere = être tissé, tressé, entrelacé. La note complète de Fermat, en respectant à la fois le fond et la forme, en respectant aussi la forme conjuguée caperet, se traduira ainsi :

« Mais que ce soit un cube en deux cubes ou un bicarré en deux bicarrés, et en général jusqu’à l’infini, aucune puissance quelconque supérieure au carré ne peut être partagée en deux autres du même nom. J’en ai complètement (véritablement) dévoilé (mis au jour) l’explication admirable (merveilleuse, surprenante), que la marge trop étroite ne contiendrait pas. »

Un jour un petit lutin se penchera à l’oreille d’un de ces mathématiciens qui pour se rassurer aiment écrire que Fermat n’a rien découvert d’essentiel, à part sa méthode de descente infinie – et encore, Euclide la connaissait déjà, alors, Fermat, vous savez… – let lui chuchotera : « Hep ! Tu n’as jamais pensé à faire traduire sérieusement sa fameuse note ? Il y a un prof de latin près de chez toi, alors qu’est-ce que tu attends ? ». Aurez-vous la naïveté de croire que ce savant ne chassera pas d’un geste nerveux ce lutin agaçant ? Pourquoi en effet rechercher quelque chose d’étrange dans un texte déjà suffisamment étrange ? Fermat nous a déjà assez énervés comme ça !

Notons que Fermat est non seulement un mathématicien de génie, un latiniste distingué, un poète réputé pour sa finesse et son élégance, mais aussi un maître en matière de concision, surtout avec ce que permet le latin. Ludivine Goupillaud, qui a d’abord été chercheur et se consacre maintenant à l’enseignement, a étudié l’usage du latin chez Fermat. Le latin, par rapport au français, « possède un indéniable avantage : celui d’agir comme un marqueur du sublime ». D’après Roland Franquart on pourrait aussi traduire les dernières lignes d’une autre manière, en tenant compte du deuxième sens du verbe detexi (« tisser » à l’indicatif passif), sans oublier non plus que « marginis » se traduit aussi par bord, bordure, limite.

« J’en ai entièrement construit comme un tissu l’explication surprenante, le manque de la bordure ne la contiendrait pas. »

Une explication détaillée de cette traduction est donnée sur son site. Voici maintenant une des traductions erronées les plus répandues : « Au contraire, il est impossible de partager soit un cube en deux cubes, soit un bicarré en deux bicarrés, soit en général une puissance quelconque supérieure au carré en deux puissances de même degré. J’en ai découvert une “démonstration véritablement merveilleuse” que cette marge est trop étroite pour contenir. » Le mot « véritablement » n’est pas à sa place puisqu’il se rapporte en réalité à « detexi » > j’en ai véritablement (complètement) dévoilé. Cette traduction conforme est plus importante qu’il n’y paraît, ayant analysé la psychologie de Fermat nous avons pu observer combien était grande son honnêteté, exemplaire sa moralité, non seulement dans sa charge de magistrat mais dans tous les domaines de sa vie. Le fait qu’il utilise cet adverbe pour un théorème réservé à l’Arithmetica, théorème qu’il a pris soin pendant de longues années de ne jamais évoquer (soyons certains qu’il ne l’a pas fait non plus dans les nombreuses lettres de lui qui ont été perdues) est à considérer avec une grande attention, ce fut la plus admirable façon qu’il trouva pour perpétuer son travail de pédagogue après sa mort, continuant d’encourager ses suiveurs à travailler et à trouver par eux-mêmes – il est notable de constater que ses non-suiveurs ont réagi de la même façon que ceux de son époque en refusant de le suivre puisqu’ils n’en voyaient pas l’utilité, préférant donc le considérer comme un vantard qui aurait oublié son goût prononcé pour la pédagogie.

Le style utilisé par Fermat dans ses 48 observations montre clairement qu’elles ont été écrites à l’intention d’un lecteur, on y voit d’ailleurs le même soin, la même élégance, dont il fait preuve dans ses correspondances. Pourquoi avoir demandé à son fils (à notre avis, et nous y reviendrons) d’écrire en toutes lettres « OBSERVATIO DOMINI PETRI DE FERMAT », et non en abrégé comme sur les 47 autres observations ? En outre, de nombreux commentateurs, comme l’historien Jean Itard, ont pris prétexte (entre autres bien sûr), que la formulation du Grand Théorème, ou même toute allusion, n’apparaît nulle part ailleurs, pour prétendre que Fermat, s’étant trompé, se serait aperçu de son erreur, mais comme il l’aurait écrite pour son seul usage personnel, il n’aurait pas eu à se rétracter. Dans son article de 1950, après avoir délivré sa brève analyse, il conclut par cette formule expéditive : « Jamais Fermat n’a été en possession d’une preuve de son Grand Théorème pour un exposant supérieur ou égal à cinq. » Qu’est-ce qui a pu motiver Itard, en tant qu’historien, à être aussi péremptoire ? Mais ne soyons pas trop surpris de cette affirmation, chez certains savants en effet les préjugés envers ceux qui leur ont ouvert la voie ont de tout temps existé, par besoin de s’affirmer, besoin de reconnaissance ou/et tout simplement désir bien humain de soutenir sa caste (et désir parfois intéressé). Ce type d’attitude chez les suiveurs de suiveurs est propre à toutes les disciplines. De même en 1995, après la découverte de Wiles, le mathématicien Winfried Scharlau nous assure que Fermat n’aurait écrit ces notes que pour lui-même. Un argument baroque est aussi avancé pour nier une preuve du théorème : « puisqu’il [Fermat] ne connaissait pas nos outils modernes. » Il serait utile de se demander pourquoi non seulement des historiens, mais aussi, c’est le plus important, de grands savants, veulent à tout prix que Fermat n’ait jamais eu sa preuve. John Wallis l’appelait «ce damné Français», Descartes le traita de «vantard». Alors, que peuvent ressentir ces savants qui pendant 324 ans ont planché, et séché, sur son Grand Théorème ? Si une partie ne se sont jamais prononcés ou ont humblement reconnu ne pas avoir d’avis sur la question, d’autres, inévitablement, humainement même, ont dû en concevoir une certaine vexation, imaginant que peut-être Fermat aurait trouvé. Si l’on peut comprendre que des mathématiciens continuent de recevoir des démonstrations erronées d’amateurs et d’en être agacés, est-il nécessaire pour calmer les ardeurs de ces optimistes de dénigrer Fermat ? De là à continuer de chercher de nouveaux pseudo-arguments il n’y a qu’un pas… La plus célèbre observation de Fermat concerne donc la question VIII de l’exemplaire de l’Arithmetica qu’il possédait, et que son fils aîné, Clément Samuel, fit imprimer dans l’édition de 1670. C’est la 2^ème des 48 observations, la seule dont le titre soit écrit en toutes lettres, toutes les autres ayant un titre abrégé en « OBSERVATIO D.P.F. » En annonçant qu’il a une preuve, Fermat précise – en traduisant correctement – qu’il l’a « véritablement mise au jour » (révélée, mise à découvert) par une « explication surprenante (admirable, merveilleuse) ». Il existe au moins trois versions différentes de cette note, selon l’ouvrage que l’on consulte (il est facile d’imprimer des exemplaires différents dans une même édition).

1). Voici une première version, qui figure à la page 99 de l’ouvrage L’ÉNIGME DE FERMAT (voir Bibliographie), accessible également sur Internet, par exemple ici.

Nous remarquons, sur le mot stratégique detexi (= j’ai [entièrement] dévoilé), la lettre t outrageusement surchargée. C’est davantage une jolie tache qu’une lettre, d’ailleurs : quand on agrandit l’image, il semble que cette tache ait été très étudiée, soigneusement construite : si dans le texte on peut facilement la traduire par un « t », prise isolément en revanche, hors de son contexte, il est impossible de l’assimiler à quelque lettre que ce soit. Mais ici elle n’apparaît pas trop incongrue, elle ne se fait pas remarquer par un observateur non averti. Quant au point qui suit le mot, il a été lui aussi joliment surchargé : gros et bien rond à la fois, plus gros même que le point qui suit le titre. Ce point et cette lettre surchargés, situés sous le tiret de « eiuS – » et sous le S très allongé, n’attirent pas l’attention chez le lecteur ne cherchant rien d’incongru, ces quatre caractères, à la fois répartis sur deux lignes successives, et groupés en bout de ligne, restent assez discrètes. Ce pseudo « t » n’est donc qu’une tache bien faite, et il est difficile d’imaginer l’imprimeur, dans le cas où le caractère, ayant souffert d’un défaut d’impression, aurait été peu lisible, le surcharger aussi grossièrement. L’importance de cette modification sur le mot le plus important de l’observation la plus importante de Fermat est expliquée sur le site de monsieur Franquart.

2). Il existe deux autres versions, légèrement différentes, qui ne peuvent qu’alerter l’observateur cherchant des indices qu’aurait pu nous laisser Fermat. En voici une, visible par exemple dans l’ouvrage Le dernier théorème de Fermat (voir Bibliographie), à la page 94 de l’édition de 1988, le texte y est parfait, seul le point après detexi restant surchargé (plus gros que le point final de la note, mais il faut vraiment être attentif pour le remarquer). Voici un lien.

Souvenons-nous que Fermat, non seulement est un mathématicien très astucieux, un sage surtout, mais que mâcher le travail de ses collègues en leur ôtant le goût de l’effort, n’est pas du tout, du tout dans sa manière. À la fin de cette observation n°2, sous le texte [re] ‘‘i demonstrationem mirabilem sane detexi’’, il y avait la place pour écrire l’anagramme prémonitoire ‘‘J’immortalisai (des) anxiétés de dénombrement’’ (le ‘i’ latin s’écrivait parfois ’j’). Fermat aurait bien eu le temps pour cela mais on l’aurait encore pris pour un vantard 😉

3). J’ai eu connaissance de la bizarrerie de la première version en 2009 par un amateur, monsieur Franquart, qui grâce à son intuition et à sa connaissance du latin m’avait apporté en 2009 les premiers arguments en faveur de l’existence d’une preuve par Fermat, m’incitant à en chercher d’autres par moi-même. J’ai trouvé cette deuxième version, sans surcharge sur le t, que j’ai rendue facilement accessible sur Wikipédia en avril 2014. Pendant plusieurs années j’ai parfois cherché à dénicher encore une nouvelle version, avec un detexi encore différent, quoique sans y croire, je pensais que ce serait impossible. Pourtant, étant devenu au fil des années de plus en familier de la subtilité et de l’imagination de ce grand pédagogue je m’efforçais d’espérer. Peut-être voulais-je conforter encore ma certitude ? Je crois surtout que je cherchais un n^ième argument à proposer, un dernier argument qui pourrait être un “argument massue”. Lors de ma dernière tentative j’ai dû passer plus de cinquante heures avant de finalement la trouver, fin 2016. Le coup de massue c’est moi qui l’ai reçu ! Il m’a fallu ensuite quelques dizaines d’heures, après l’avoir perdue, à la retrouver. Cette découverte fut une surprise totale pour moi, complètement assommé j’eus du mal à réaliser ce qui m’arrivait. La voici (observez le dernier caractère du dernier mot detexi – lien, page 61) :

J’ai d’abord eu un comme un gros souci avec ce i transformé en s. Durant les premiers mois qui ont suivi cette découverte j’ai été troublé. Cette nouvelle bizarrerie, c’était “trop gros”, tellement peu subtil, peu conforme aux habitudes de Fermat ; le créditer de cette nouvelle astuce a d’abord été difficile, et oui ça a été comme un coup de massue : il y avait maintenant deux bizarreries dans un texte très court, sans parler du même texte qui lui n’en contient aucune. Trois bizarreries donc au total, trois au moins, à ma connaissance. Puis avec le temps j’ai pu prendre du recul. Les mots écrits, quand ils composent un texte chargé d’histoire, ont pour le lecteur une valeur sacrée, on a un peu scrupule à y toucher, à y ajouter des réflexions qu’aucun historien, même si c’est faute d’avoir eu accès à de nouvelles données, n’a jamais pu exposer. Quand par ailleurs la bizarrerie ne concerne qu’une lettre parmi deux cents, un mot parmi trente cinq (mais pourtant toujours le même mot), tous très importants et en rapport direct avec un génie, on se sent bien humble. Je n’avais trouvé qu’une fois cette deuxième bizarrerie, je tentais de trouver une explication technique, mécanique (imprimerie, domaine dans lequel j’ai travaillé, aucune n’était satisfaisante. Aurais-je du être étonné que personne n’ait encore relevé ces deux (trois) bizarreries ? Assurément non, car je connaissais bien Fermat et tout aussi bien la psychologie des mathématiciens et historiens, ces derniers, résignés, n’avaient pas pensé à rechercher sur internet tous les indices que Fermat aurait pu laisser avec cette note. N’étant pas moi-même mathématicien, et avec ce que je savais déjà de la première anomalie, il ne m’était resté que la solution de découvrir si Fermat, facétieux et malicieux pour la bonne cause, n’avait pas laissé ailleurs une autre bizarrerie, qui à l’époque du tout-papier n’aurait guère éveillé l’attention du mathématicien qui aurait eu sous les yeux la version contenant cette bizarrerie. Les mathématiciens restaient persuadés que Fermat, à la fin se sa vie, nous avait légué le principal, la pensée unique avait fait le reste. Le même mot, donc, avait été l’objet de deux grosses bizarreries distinctes, et il existait au moins trois versions différentes de la note, et ça, c’était vraiment trop bizarre, il y avait forcément une explication, surtout qu’il s’agissait de Fermat ! Le temps a passé et fait son œuvre, faire dire à ce texte autre chose que ce qu’il ne dit pas explicitement paraît osé en première approche, mais si c’est pour tenter de le rendre plus signifiant en montrant que trois anomalies peuvent se justifier quand les regroupe avec d’autres observations (que nous exposerons plus loin), alors il n’y a plus à tergiverser. Fermat ne pouvait prévoir qu’un jour on pourrait avoir accès à de nombreux exemplaires de l’Arithmetica, il n’imaginait pas qu’après avoir découvert l’existence d’une première note suspecte, on pût découvrir “assez facilement” une troisième version. On se convainc alors plus facilement que les deux anomalies viennent d’une décision réfléchie, puis on se décide à en chercher l’explication la plus logique, quand bien même (et surtout), elle irait à l’encontre de la pensée unique ; on observe que cette bizarrerie, ajoutée à bien d’autres, compose un ensemble de bizarreries très cohérent. En découvrant cette troisième version j’avais peut-être eu de la chance, mais surtout je l’avais provoquée, confiant j’avais persévéré, pourtant sans beaucoup y croire, et j’avais été confirmé une fois de plus que lorsqu’on faisait confiance à Fermat, il ne se privait jamais de nous en récompenser. Dans cette version donc, toujours sur le même mot detexi, par un changement de lettre cette fois tout à fait incongru, Fermat (ou plutôt son fils, suivant les instructions de son père) remplace (demande à l’imprimeur de remplacer) le i par un s (qui tout en étant surmonté d’un point, est identique au s figurant deux lignes plus haut exactement à la verticale), inventant un nouveau mot au passage (detexs).

Voyons donc ce «s» surmonté d’un point. Si là encore Fermat s’est adonné à une de ces subtilités qui sont sa marque de fabrique, on peut décomposer ce «s», surmonté d’un point, en «i» + «s». Ce qui nous donne le mot is (le «s» est d’ailleurs un «i» tordu, ou encore, le «i» tordu est inclus dans le «s»). Or le mot latin is se traduit par : celui-ci, lui [ce mot-ci] > detexi. Si comme Roland Franquart je pense que dans la note les 2 couples de lettres accolées “ut” et les 3 couples de lettres accolées “tu” peuvent être une des clefs, et qu’une autre clef est qu’on peut donner une deuxième signification à l’expression ‘non caperet’ – le ‘t’ surchargé suggérant que l’on comprenne aussi ‘ne pas contenir t’ –, une autre clef encore étant que le point surchargé a son explication (etc.), enfin qu’une tentative de décryptage, en entrelaçant (comme dans une trame) grâce à « [complètement] construit comme un tissu », est fondée, quant à sa tentative de démonstration, selon Catherine Goldstein elle n’est pas pertinente. Pour nous divertir un moment, que se serait-il passé si tous les exemplaires de ce Diophante avaient été concernés par les deux bizarreries réunies ? Je me suis amusé à faire un collage, voici à quoi ressemblerait une telle édition :

. Ceci est un montage !

Profitons de ce collage pour évaluer la portée de chacune des deux “erreurs” (transformations), dans le cas où un lecteur n’aurait eu accès qu’à une seule d’entre elles et en aurait été plus ou moins surpris.

1) Le dernier caractère, le s. C’est le plus incongru, le plus surprenant, et comme nous l’avons vu plus haut, il pouvait suggérer à un mathématicien latiniste et curieux de porter une attention particulière à ‘is’ (ce mot-ci > découvert), mais il n’indiquait rien d’autre.

2) Le ‘t’ exagérément surchargé. Nous avons vu aussi qu’une analyse poussée (voir le site de R.F.) pouvait être très instructive pour un mathématicien latiniste désireux d’en savoir plus. En revanche, un mathématicien non latiniste ou très peu latiniste, ce qui est le cas de la plupart de nos mathématiciens, ne se serait pas attardé à ce qui dans le contexte pouvait être assimilé à un ‘t’, pour detexi.

3) Imaginons maintenant que a) le lecteur soit à la fois mathématicien et latiniste, b) qu’il ait accès à ces deux transformations. La première (i transformé en s, donnant > ‘ce mot-ci’) totalement incongrue, perd toute son étrangeté quand on l’associe à la première, les deux transformations se potentialisent mutuellement (ce qu’on a devant les yeux après plus de trois siècles de polémiques, je me demande si c’est facile à accepter). En consultant les exemplaires de l’Arithmetica accessibles sur internet, on ne peut estimer que très approximativement la proportion dans laquelle se distribuent les trois versions. Avec toutes les précautions d’usage donc : 85% pour la version parfaite, 10% pour la version avec le t surchargé, 5% pour la version avec le i transformé en s. On sait que l’Arithmetica que possédait Fermat est très fautive, mais quand bien même un lecteur n’ayant pas étudié consciencieusement le travail de Fermat et surtout l’homme, pourrait croire que ses 48 observations, dont certaines sont très longues, aient pu être écrites dans la marge (voir plus loin), il est certain que puisqu’elles étaient importantes à ses yeux elles ont été transcrites avec le plus grand soin, d’où il résulte que les deux versions transformées ont été un acte volontaire. Il est possible qu’il existe encore d’autres versions, j’avoue que pour ma part j’ai eu mon compte d’émotions ! Sur les dates auxquelles été écrites ces observations, je crois qu’on ne peut pas en dire grand-chose. Nombreux sont les commentateurs qui pensent qu’elles ont été écrites avant 1640, on peut aussi pencher pour une date se situant après sa dernière tentative de publication en 1659, soit quelques années avant sa mort. Quoi qu’il en soit cette preuve peut fort bien avoir un rapport avec le triangle dit “de Pascal”, et dans ce cas encore, au moins pour cette observation n°2, toute date est envisageable. Fermat en effet a pu avoir connaissance de ce fameux triangle grâce aux travaux (qu’il connaissait) de François Viète, mort cinq ans avant sa naissance (ce triangle était déjà connu du mathématicien persan Al-Karaji (XI^e siècle) et de bien d’autres à sa suite, jusqu’à Tartaglia et Viète). Si donc Fermat s’est intéressé aux propriétés étonnantes du triangle arithmétique (rappelons qu’il a travaillé sur les carrés magiques, jouer avec cet objet philosophique que sont les nombres, étudier toutes les relations qu’ils pouvaient avoir entre eux, était comme un trésor à tenter de mettre au jour, un trésor de méditations, qui plus est jamais épuisé), il est logique qu’il n’y ait jamais fait allusion (jusqu’à ce que Pascal lui-même en parle) s’il s’en est servi pour démontrer son grand théorème. Nous pensons que c’est la meilleure voie à explorer. Gardons-nous de sous-estimer Fermat, de minimiser son intuition et le discernement dont il sait faire preuve. Nous exposerons d’autres arguments en faveur d’une preuve chez Fermat. Reprenant à mon compte ce qu’écrit Roland Franquart, je pense que Fermat était conscient qu’on pouvait le prendre pour un vantard avec ses façons peu orthodoxes, provocantes, dans un but de stimulation surtout. Et qu’il s’adressait, dans cette note en particulier, à la fois aux sceptiques (« il ne fait que se regarder lui-même »), et à ceux qui lui feraient confiance. N’avoir évoqué ce théorème que dans cette note et nulle part ailleurs peut paraître étonnant, à moins d’admettre qu’il ne voulait rien dire, de son vivant, d’un théorème qu’il jugeait important et surtout très difficile à prouver. En 1659 il fit demander à Huygens de publier sa « Relation des nouvelles découvertes en la science des nombres ». Bien qu’elle fût assez détaillée, elle ne l’était peut-être pas suffisamment pour être publiable et Huygens n’entreprit pas de la développer davantage. Fermat ne put donc jamais faire publier un seul de ses travaux sur la théorie des nombres. Bien que la célébrité lui était indifférente, s’il avait disposé de beaucoup plus de temps et que sa profession n’eût pas exigé une certaine discrétion, peut-être aurait-il complètement explicité ses démonstrations et trouvé assez facilement un éditeur ? Mais sa profession et sa recherche passionnée de nouvelles découvertes l’en empêchèrent. On ne peut savoir s’il nous aurait livré alors la démonstration de son dernier théorème mais c’est peu probable. Comme il ne put se faire publier, quel moyen simple lui restait-il de nous léguer toutes ses découvertes dans la forme très concise qu’il affectionnait tant ? Exigeant comme il l’était, pouvait-il se contenter de nous livrer des ébauches bancales indignes d’un savant ? C’était un expert de la stratégie du défi et le meilleur moyen fut pour lui ces 48 observations post mortem, d’autant qu’il avait été échaudé par les moqueries de certains correspondants, déçu aussi par leur manque d’empressement à le suivre dans ses recherches. Cette façon de faire avait d’ailleurs le précieux avantage, grâce au débat qui ne manquerait pas de survenir autour de son théorème et à l’attention qu’on porterait à ses travaux, de les mettre en avant et ainsi de faire progresser cette science des nombres. Il savait que les mathématiciens qui viendraient tout de suite après lui ne le suivraient pas dans les voies très ardues qu’il était seul à maîtriser (dans sa lettre testament à Carcavi en 1659, il ne fait là encore aucune mention de son théorème). Je pense qu’ayant conscience de l’extrême difficulté que ses futurs détracteurs auraient à retrouver sa démonstration, il savait qu’il les prendrait à leur propre piège de négligence bien-pensante. De son vivant il testait chacun de ses correspondants avant de choisir le défi qu’il allait lui proposer, et de quelle manière il allait le faire, il avait appris leurs limites, leur impuissance à le suivre dans ses recherches. Nous savons aussi qu’il écrivait beaucoup pour la postérité : ne faire de son vivant aucune mention de la démonstration du plus difficile de ses théorèmes, mais ne le faire connaître qu’après sa mort et ainsi entrer dans l’Histoire, outre le plaisir malicieux cela pouvait lui procurer, était aussi pour lui le meilleur moyen de faire progresser le science des nombres. Son arithmétique n’intéressant plus personne, il pouvait penser que ce théorème avait de beaux jours devant lui. Outre une petite revanche sur ses détracteurs de l’époque, ça allait être un joli pied de nez à ses non-suiveurs. Fermat aura donc peut-être réussi le coup du millénaire, même si on a prétendu, avec la preuve très moderne découverte par Wiles en 1994, que ça y est, enfin, la seule vraie preuve on la tient ! Ah, que ce théorème aura fait parler de lui ! Je souris, et sûrement ce facétieux génie sourirait aussi s’il pouvait être témoin de la fabuleuse épopée de son théorème.

III. Intermède grothendieckien

« Plutôt que de me laisser distraire par les consensus qui faisaient loi autour de moi, sur ce qui est « sérieux » et ce qui ne l’est pas, j’ai fait confiance simplement, comme par le passé, à l’humble voix des choses, et à cela en moi qui sait écouter.

Dans notre connaissance des choses de l’Univers (qu’elles soient mathématiques ou autres), le pouvoir rénovateur en nous n’est autre que l’innocence. C’est l’innocence originelle que nous avons tous reçue en partage à notre naissance et qui repose en chacun de nous, objet souvent de notre mépris, et de nos peurs les plus secrètes. Elle seule unit l’humilité et la hardiesse qui nous font pénétrer au cœur des choses, et qui nous permettent de laisser les choses pénétrer en nous et de nous en imprégner.

Ce pouvoir-là n’est nullement le privilège de « dons » extraordinaires – d’une puissance cérébrale (disons) hors du commun pour assimiler et pour manier, avec dextérité et avec aisance, une masse impressionnante de faits, d’idées et de techniques connus. De tels dons sont certes précieux, dignes d’envie sûrement pour celui qui (comme moi) n’a pas été comblé ainsi à sa naissance, « au delà de toute mesure ».

Ce ne sont pas ces dons-là, pourtant, ni l’ambition même la plus ardente, servie par une volonté sans failles, qui font franchir ces « cercles invisibles et impérieux » qui enferment notre Univers. Seule l’innocence les franchit, sans le savoir ni s’en soucier, en les instants où nous nous retrouvons seul à l’écoute des choses, intensément absorbé dans un jeu d’enfant…

[…] La découverte est le privilège de l’enfant. C’est du petit enfant que je veux parler, l’enfant qui n’a pas peur encore de se tromper, d’avoir l’air idiot, de ne pas faire sérieux, de ne pas faire comme tout le monde. Il n’a pas peur non plus que les choses qu’il regarde aient le mauvais goût d’être différentes de ce qu’il attend d’elles, de ce qu’elles devraient être, ou plutôt : de ce qu’il est bien entendu qu’elles sont. Il ignore les consensus muets et sans failles qui font partie de l’air que nous respirons – celui de tous les gens censés et bien connus comme tels. Dieu sait s’il y en a eu, des gens censés et bien connus comme tels, depuis la nuit des âges !

Nos esprits sont saturés d’un « savoir » hétéroclite, enchevêtrement de peurs et de paresses, de fringales et d’interdits ; d’informations à tout venant et d’explications pousse-bouton – espace clos où viennent s’entasser informations, fringales et peurs sans que jamais ne s’y engouffre le vent du large. Exception faite d’un savoir-faire de routine, il semblerait que le rôle principal de ce « savoir » est d’évacuer une perception vivante, une prise de connaissance des choses de ce monde. Son effet est surtout celui d’une inertie immense, d’un poids souvent écrasant.

Le petit enfant découvre le monde comme il respire – le flux et le reflux de sa respiration lui font accueillir le monde en son être délicat, et le font se projeter dans le monde qui l’accueille. L’adulte aussi découvre, en ces rares instants où il a oublié ses peurs et son savoir, quand il regarde les choses ou lui-même avec des yeux grands ouverts, avides de connaître, des yeux neufs – des yeux d’enfant.

Il arrive que l’un ou l’autre de nous découvre telle chose, ou telle autre. Parfois il redécouvre alors dans sa propre vie, avec émerveillement, ce que c’est que découvrir. Chacun a en lui tout ce qu’il faut pour découvrir tout ce qui l’attire dans ce vaste monde, y compris cette capacité merveilleuse qui est en lui – la chose la plus simple, la plus évidente du monde ! (Une chose pourtant que beaucoup ont oubliée, comme nous avons oublié de chanter, ou de respirer comme un enfant respire…). Chacun peut redécouvrir ce que c’est que découverte et création, et personne ne peut l’inventer. Ils ont été là avant nous, et sont ce qu’ils sont. […] » Alexandre Grothendieck, RÉCOLTES ET SEMAILLES – Réflexions et témoignage sur un passé de mathématicien. (Les récoltes se font pourtant après les semailles. Le peintre Pierre Soulages écrit quant à lui : “C’EST CE QUE JE TROUVE QUI M’APPORTE CE QUE JE CHERCHE”).

A.G. dans son ouvrage La Clef des songes, p.24 : « L’apparition soudaine d’un tel sentiment [d’évidence] n’est d’ailleurs pas chose spéciale à la compréhension du grand rêve. Celui-ci représente simplement un des cas où elle est la plus flagrante. Je crois même qu’elle est plus ou moins commune à tout travail de découverte, aux moments où celui-ci soudain débouche sur une compréhension nouvelle, grande ou petite. J’en ai fait l’expérience encore et encore tout au long de ma vie de mathématicien. Et ce sont les choses les plus cruciales, les plus fondamentales, au moment où elles sont enfin saisies, qui sont celles qui frappent le plus par leur caractère d’évidence ; celles dont on se dit après coup qu’elles “crevaient les yeux” – au point qu’on se trouve stupéfait que soi-même ni personne n’y ait songé avant et depuis longtemps. Ce même étonnement, je l’ai rencontré à nouveau, et tout autant, dans le travail de méditation – ce travail à la découverte de soi-même qui est venu, peu à peu, à se confondre quasiment avec le travail sur mes rêves.

Les gens ont tendance à ne pas y faire attention, à ce sentiment d’évidence qui accompagne si souvent l’acte de création et l’apparition de ce qui est nouveau. Souvent même on refoule la connaissance de ce qui peut sembler, en térmes des idées reçues, un étrange paradoxe. »

IV. Les 48 observations ont-elles été  écrites “dans la marge” ?

J’ai pris cette question beaucoup plus au sérieux que je ne l’avais fait jusqu’alors, lorsque j’ai lu dans l’ouvrage Fermat a-t-il démontré son grand théorème ? L’hypothèse « Pascal » que Laurent Hua et Jean Rousseau, observant la longueur de la moitié des 48 observations de Fermat, y répondent par la négative. Voyons donc si c’est vraiment dans la marge que Fermat a pu écrire ces observations (serait-ce ailleurs, sur des feuilles volantes ou dans un livret, avec des instructions détaillées à l’adresse de son fils, pour les trois ‘’detexi’’ différents par exemple, instructions qui pouvaient être accompagnées d’autres recommandations). Voyons ce qu’écrit Samuel dans la préface de l’édition de 1670 : Illas [observationes] Parens meus quasi aliud agens et ad altiora festinans margini variis in locis apposuit, præsetim ad quatuor vltimos libros. En français : « Ces remarques, mon père les nota dans la marge à différents endroits, surtout dans les quatre derniers livres, comme s’il faisait autre chose et qu’il avait hâte d’atteindre des buts plus élevés. » Au premier abord la précision : “surtout dans les quatre derniers livres” paraît justifiée puisque ce sont dans ces Livres III à VI, que figurent la majeure partie des 48 observations (45 sur 48). Pourtant certaines d’entre elles sont très longues (par exemple les obs. N° 6, 7, 8, 9, 11, 15…) et on se demande comment elles auraient pu tenir dans une marge. À l’inverse, les 3 premières observations (dans les Livres I et II) sont très courtes et pouvaient y tenir facilement. Catherine Goldstein, sans s’attarder sur le sujet, emploie le conditionnel en écrivant : « […) observations qu’il aurait écrites dans la marge. » Quant à la fin de la phrase de Samuel : “comme s’il faisait autre chose et qu’il avait hâte d’atteindre des buts plus élevés’’, elle dit exactement ce que disait Fermat de lui-même, et semble n’être là que pour une pseudo-justification du “manque de place”, ou du “manque de temps”, souvent invoqués dans ses observations. Le pieux mensonge de Samuel laisse supposer qu’il n’a pas pris seul, sans les recommandations paternelles, l’initiative de faire publier une nouvelle édition de l’Arithmetica, augmentée des observations de son père. Il est même possible que la phrase entière ne soit pas de Samuel mais de Fermat lui-même, qui joue avec nous, avec nos nerfs, faisant preuve encore une fois de cet esprit facétieux qui pourrait nous paraître cruel, à moins que l’on n’admette une fois pour toutes que, lorsqu’il a voulu encourager ses suiveurs, on n’a jamais pu le prendre en flagrant délit de mesquinerie, prêt qu’il est à user sans modération des astuces les plus subtiles. Si nous passions outre toutes ces prouesses, si nous sous-estimions sa sagacité, son audace, il pourrait sembler étonnant que son Diophante n’ait jamais été retrouvé, mais si nous les acceptons, alors nous acceptons facilement que Samuel ait été dans l’obligation de le détruire puisque les 48 observations n’y auraient pas figuré (mais peut-être seulement les plus courtes, ainsi que des repères ou des notes confidentielles pour son fils aîné). Il semble donc que Pierre et Samuel n’aient cessé de jouer avec nous. Voila un bien noble binôme, qui a bien mérité sa particule : Pierre, homme de cœur, indépendant, intègre, audacieux, incisif parfois, ‘’paresseux’’ dit-il de lui, mais plutôt très occupé à ses recherches personnelles. Samuel, humaniste, altruiste lui aussi et passeur dévoué, il sait d’où il vient, il sait où il va, un vecteur bien orienté en quelque sorte, digne fils de son père. Examinons un autre point, nous avons vu que la traduction exacte de l’affirmation de Fermat qui a fait très polémique (mais dans d’autres traductions, presque toutes erronées) est : « J’en ai véritablement découvert la démonstration admirable […]. » Si ses 48 annotations avait été « réservées à son seul usage » (comme l’ont prétendu Jean Itard et bien d’autres), Fermat aurait-il eu besoin d’ajouter le mot “véritablement” ? Chère lectrice, cher lecteur, commencez-vous à nous suivre un peu ? Si c’était le cas il se peut que vous ne soyez pas déçu de votre petit voyage en terra incognita.

V. Fermat pensait-il vraiment que sa conjecture sur les nombres de la forme 2²ⁿ+1 était vraie ?

Ce texte est dédié à Catherine Goldstein.

Je suis conscient que ce qui suit va à rebrousse-poil des sentiers battus, et je vous avoue tout net que moi-même, pendant longtemps (5 ans presque exactement), je n’ai pas été complètement certain de cette théorie. D’une heure à l’autre elle pouvait parfois se conforter considérablement, comme elle pouvait tout aussi bien se réduire presque à néant (je ne doute pas que cela puisse aussi vous arriver 😉 ). De cela je n’étais pas étonné, parce que j’étais moi aussi très influencé par tout ce qui s’est dit de négatif au sujet de Fermat – dit, et surtout répété depuis des siècles, avec des raccourcis de raisonnement parfois saisissants, des analyses orientées qui s’ajoutaient les unes les autres en devenant de plus en plus partiales. Vous avouerai-je que face à autant d’avis négatifs venus des savants au long des siècles, il arrive encore parfois, au sujet des polémiques autour de Fermat, que des doutes m’assaillent à nouveau (et c’est heureux puisque je n’ai pas la preuve qu’il ait eu une démonstration). Je ne balaie pas ces doutes d’un revers de main mais les soumets à une analyse critique. Cette démarche m’a souvent permis de conforter certains arguments et surtout d’en découvrir de nouveaux. Il ne faudrait pas trop s’étonner, ni même s’accabler d’être parfois si peu sûr de soi. Il serait au contraire fâcheux d’être irraisonnablement obstiné jusqu’à utiliser de mauvais arguments. On sait que la puissance d’un préjugé, quand il est très partagé, par des savants de surcroît, est pratiquement indépassable. Dans tous les domaines, et chez nous tous, la problématique de la croyance est éminemment complexe. On aime croire ce qui nous est agréable, il nous arrive de modifier, parfois même de changer radicalement certaines de nos croyances, mais beaucoup d’entre elles ne nous quitteront pas de toute notre vie. Certaines heureusement seront bonnes, mais qui peut dire en ce bas monde qu’il détient la vérité ? Citons Claudine Tiercelin : « […] pour mesurer à quel point il est difficile de se débarrasser de nos croyances, et pourquoi on a tant de mal, même si on réalise que nos croyances sont fausses, même si on se rend compte que nos croyances sont éventuellement des préjugés, à cesser de croire ce qu’on croit. Parce qu’on a besoin de croyances pour agir. » Le seul mathématicien qui m’ait encouragé à redonner un peu de vie à ce théorème, dès mes débuts sur Wikipédia en 2005, est une mathématicienne, chercheur, historienne des mathématiques de surcroît, et grande spécialiste de Fermat pour mon grand bonheur, un grand merci à toi chère Catherine. Examinons sereinement les choses. Certains commentateurs parmi les plus sceptiques, philosophes, historiens et même mathématiciens, qui pour des raisons diverses, veulent croire et nous faire croire que Fermat ne pouvait avoir une preuve de son théorème, ont prétendu que lorsqu’il écrit à propos de cette question des nombres de Fermat : « J’ay ensuite considéré certaines questions », il prétend avoir démontré la dernière question. On devrait donc lire : « J’ai démontré (toutes) ces propositions. » En 1977, l’Américain Harold Edwards par exemple écrit : « Il [Fermat] alla même jusqu’à dire, plus tard dans sa vie, qu’il pouvait prouver que ces nombres étaient tous premiers » – ce qui est loin d’être évident pour Eric Temple Bell qui lui en fait la remarque, mais Edwards poursuit : « Je ne vois pas d’autre interprétation de cette lettre à Carcavi. » Tout va bien, les savants les plus sceptiques sont de plus en plus rassurés, Fermat n’est pas fiable, et il n’a jamais démontré son grand théorème comme il le prétend, d’ailleurs ça se saurait, il y aurait au moins une trace quelque part et on a cherché partout. Voyons ce qu’il écrit à propos de ces nombres de la forme 2²ⁿ+1, en prêtant attention aux lignes que nous mettons ici en italiques, qui peuvent être interprétées comme des mises en appétit, des provocations, à la fois défis et encouragements à le suivre dans ses travaux :

1) août (?) 1640 à Frénicle : « Mais voici ce que j’admire le plus : c’est que je suis quasi persuadé que tous les nombres progressifs augmentés de l’unité, desquels les exposants sont des nombres de la progression double, sont nombres premiers, comme 3, 5, 17, 257, 65537, 4 294 967 297 et le suivant de 20 lettres 18 446 744 073 709 551 617 ; etc. Je n’en ai pas la démonstration exacte, mais j’ai exclu si grande quantité de diviseurs par démonstrations infaillibles, et j’ai de si grandes lumières qui établissent ma pensée, que j’aurois peine à me dédire. » Lettre XLIII.

2) 25 décembre 1640 à Mersenne : « Si je puis une fois tenir la raison fondamentale que 3, 5, 17, etc. sont nombres premiers, il me semble que je trouverai de très belles choses en cette matière, car j’ai déjà trouvé des choses merveilleuses dont je vous ferai part, après que j’aurai eu votre réponse et celle de M. Frenicle. »

3) 29 août 1654 à Pascal : « Au reste, il n’est rien à l’avenir que je ne vous communique avec toute franchise. Songez cependant, si vous le trouvez à propos, à cette proposition.
Les puissances carrées de 2, augmentées de l’unité, sont toujours des nombres premiers.
Le carré de 2, augmenté de l’unité, fait 5, qui est nombre premier.
Le carré du carré fait 16 qui, augmenté de l’unité, fait 17, nombre premier.
Le carré de 16 fait 256 qui, augmenté de l’unité, fait 257, nombre premier.
Le carré de 256 fait 65.536 qui, augmenté de l’unité, fait 65.537, nombre premier. Et ainsi à l’infini.
C’est une propriété de la vérité de laquelle je vous réponds. La démonstration en est très malaisée, et je vous avoue que je n’ai pu encore la trouver pleinement ; je ne vous la proposerais pas pour la chercher, si j’en étais venu à bout.
Cette proposition sert à l’invention des nombres qui sont à leurs parties aliquotes en raison donnée, sur quoi j’ai fait des découvertes considérables. Nous en parlerons une autre fois. Je suis, [etc.]»

4) 16 juin 1658, à John Wallis par Digby : « quelques propositions dont nous ne nierons pas ignorer la démonstration (…) Il reste à trouver une démonstration de cette proposition, certainement belle mais aussi très vraie », lettre XCVI dans Œuvres de Fermat, t. 2, p. 402-405.

• Examinons maintenant sa dernière lettre traitant du sujet (1659) à Carcavi et à Huygens :

« J’ay ensuite considéré certaines questions qui, bien que négatives, ne restent pas de recevoir très grande difficulté, la méthode pour y pratiquer la descente étant tout à fait diverse des précédentes, comme il sera aisé d’éprouver. Telles sont les suivantes :
– Il n’y a aucun cube divisible en deux cubes.
– Il n’y a qu’un seul quarré en entiers qui augmenté du binaire fasse un cube. Ledit quarré est 25.
– Il n’y a que deux quarrez en entiers lesquels augmentés de 4 fassent un cube. Les dits quarrés sont 4 et 121.
– Toutes les puissances quarrées de 2 augmentées de l’unité sont nombres premiers. [Vide Commerc. Epistolicu Wallisii pag. 186 (…)]. Cette dernière question est d’une très subtile et très ingénieuse recherche et, bien qu’elle soit conçue affirmativement, elle est négative, puisque dire qu’un nombre est premier, c’est dire qu’il ne peut être divisé par aucun nombre. »

Cette question, on le sait, ne se vérifie pas dès 4 294 967 297 (F₅₎. Peut-on réellement croire que Fermat, qui en essayant les nombres premiers de la forme 74k+1 trouve que 2³⁷-1 est divisible par 223, n’aurait pas vu par la même méthode, en utilisant les diviseurs de la forme 64k+1, et après 5 divisions ou même seulement 4, que F₅ est divisible par (64×10) +1, soit 641, donc qu’il n’est pas premier ? Non évidemment. Certains, en prenant soin de ne faire aucune allusion directe à ces 4 divisions, ont pu dire qu’il se serait trompé dans ses calculs : il ignorait donc qu’on vérifiait le résultat d’une division en multipliant le quotient par le diviseur….. Que Fermat, maître dans la science des nombres, ait pu mentionner à qui voulait bien l’entendre (Frénicle, Mersenne, Pascal, Wallis, Digby, Carcavi et Huygens), sur une période de 19 ans (!), entre 1640 et 1659, qu’il est quasiment certain d’une proposition dont pourtant il peut démontrer la fausseté en quelques minutes, est une nouvelle fois bien étrange. Le plus intéressant avec cette dernière question, dont Fermat a toujours dit qu’il n’en avait pas la démonstration, est qu’elle ne figure pas parmi les 48 observations de l’Arithmetica. Or, tous les autres théorèmes que Fermat a prétendu avoir démontrés se sont révélés exacts. Notons aussi que l’un des seuls résultats dont il nous ait laissé une démonstration est le théorème sur les triangles rectangles « L’aire d’un triangle en nombres ne peut être un carré. » À la fin de sa vie, les jeunes mathématiciens avec lesquels il aurait pu correspondre n’avaient que faire de son arithmétique. Je suis certain que « le problème avec le théorème », c’est que Fermat ne faisait confiance qu’à ceux qui eux-mêmes lui feraient confiance, qui chercheraient à le connaître et, le connaissant, s’enhardiraient à dénicher des indices en faveur de l’existence de sa preuve. Quand il envoya à Roberval quelques propositions très ardues, Roberval lui en demanda les démonstrations, ce à quoi Fermat répondit : « J’ai dû travailler pour les découvrir. Travaillez vous aussi ; vous prendrez ainsi conscience que c’est dans ce travail que consiste la majeure partie du plaisir. » (Lettre de Roberval à Torricelli, 1646-47?). Si comme nous le supposons, Fermat sait pertinemment que cette conjecture, très importante à ses yeux, est fausse, il se pourrait bien que dès la première de ces lettres, et jusqu’à la cinquième, il utilise à nouveau sa méthode du défi (bien qu’ici sous une forme nouvelle). Et si l’un de ses correspondants avait pu alors démontrer (une première pour eux) qu’elle était fausse, cela aurait sans doute créé une forte émulation chez quelques autres, qui à leur tour auraient tenté, avec plus de persévérance qu’ils ne l’ont fait jusqu’alors, de tenter de relever d’autres ses plus grands défis, ce qui a toujours été son objectif avoué. Par ailleurs je suis quasi persuadé qu’il a volontairement choisi cette dernière question pour l’adjoindre aux trois précédentes de façon à regrouper quatre questions négatives, ce qui lui permet une nouvelle fois de jouer sur les mots. Il écrit tout à la fin : « bien qu’elle soit conçue affirmativement, elle est négative, puisque dire qu’un nombre est premier, c’est dire qu’il ne peut être divisé par aucun nombre. » On peut encore voir là un indice et interpréter ainsi : cette dernière proposition est négative, mais aussi dans le sens non valable, fausse. Les mots alléchants « d’une très subtile et très ingénieuse recherche », sont destinés à aiguillonner un peu plus les savants, comme on peut le deviner à la fin de cette longue lettre, « en tout cas, cette indication [du compte de mes rêveries] servira aux savans pour trouver d’eux-mêmes ce que je n’étends point. » (NDR : « ce que je ne développe point »). Dans les lettres suivantes Fermat ne se préoccupera pratiquement plus des nombres. Cette lettre pose donc une autre question, car maintenant qu’il est presque assuré qu’aucun de ses contemporains ne pourra résoudre cette dernière question, il la formule d’une façon fort ambigüe. À première vue on ne peut savoir avec certitude s’il a seulement « considéré ces questions » ou s’il prétend en avoir la démonstration pour chacune, jusqu’à la dernière. Notre opinion étant qu’il savait cette dernière proposition invalide, il se pourrait bien qu’il ait eu plusieurs objectifs :

• D’abord laisser penser aux plus sceptiques qui ne voudraient pas (ou ne pourraient pas) le suivre qu’il s’était trompé (et tant pis pour eux), et augmenter encore davantage leur trouble quant à son affirmation sur son Grand Théorème prétendument démontré. C’était un Gascon, donc un matamore ? Soit ! Ils ne chercheront pas comme lui, avec beaucoup de discernement, sa preuve, ils ne la trouveront donc pas de si tôt et languiront très longtemps (et tant pis pour eux). Incidemment (ou pas), cette façon de faire aura un autre avantage intéressant pour lui, celui de se divertir (enfin !), en se payant la tête à son tour de ses moqueurs et peut-être un jour, en les tournant en ridicule, si l’on trouvait une démonstration beaucoup plus accessible de son Grand Théorème.
• Semer le doute chez beaucoup, et les laisser dans l’incertitude.
• Faire s’interroger les plus curieux de ses lecteurs : pourquoi affirmer une chose quand on peut prouver qu’elle est fausse ? Pour les sidérer ? Les émerveiller même, et ainsi les stimuler pour qu’ils cherchent ce qu’il peut y avoir de plus sublime, dans ce qu’il a bien voulu nous laisser de ses travaux ? Alors, qu’ils s’interrogent : Fermat utiliserait-t-il autre part que pour ces nombres de la forme 2²ⁿ+1, de subtils moyens pour nous mettre sur la voie de ses découvertes ? Dans la note N°2 peut-être ? Si l’on s’est déjà s’interrogé sur la présence des deux bizarreries, alors on sera encore plus enclin à les étudier avec soin.

Énoncer en toute connaissance de cause, comme nous le croyons, cette fausse proposition, sera donc pour Fermat avantageuse à tous points de vue. Le lecteur curieux pourrait lui-même chercher d’autres avantages à cette affirmation. Nous pensons maintenant être au fait des méthodes adoptées par Fermat pour encourager d’éventuels suiveurs, il livre des indices de-ci de-là, laisse le temps faire son œuvre et travailler pour lui (il n’a plus le choix d’ailleurs, il est lâché de tous côtés). Le destin décidera lui-même de l’avenir du théorème. À partir de là, plusieurs possibilités s’offriront à cette énigme :

– Si des mathématiciens motivés s’avisaient un jour qu’il y a quelque chose de bizarre avec ce detexi (« j’ai entièrement dévoilé ») avec une tache à la place du « t » et avec un autre detexi transformé en « detexs » (le « s » surmonté d’un point), eh bien on pourrait alors essayer de comprendre ce que cela peut bien vouloir signifier. Si la démonstration est entièrement découverte, mise au jour et peut-être même tissée, ce pourrait être dans la note elle-même, qui a été une fois parfaitement écrite et deux fois corrompue, sur le même mot, dans la même édition de 1670. L’usage du latin, chez Fermat en particulier, a l’énorme avantage d’éveiller la curiosité du lecteur, c’est la meilleure façon de le stimuler, de le mettre face à un cryptage qui défie son intelligence, il l’utilise « comme une machine à encoder et à décoder » (Ludivine Goupillaud). Il est friand et coutumier du moins-disant nécessaire et si nous tenons compte de cela il nous faut étudier sans complexe tout ce qu’il écrit, même “entre les lignes”. Si nous admettons qu’il ait voulu nous mettre sur la voie, alors il se pourrait bien que la stratégie du défi qui lui est si chère atteint là son acmé. Un autre aspect remarquable de l’étrangeté de cette note, utilisé d’ailleurs par les détracteurs de Fermat, est que nulle part ailleurs que sur cette observation N°2 (tiens, « 2 » comme l’exposant 2, amusant), Fermat ne fait d’allusion au théorème général. Lorsqu’il évoque pour la première fois en 1640 les exposants 3 et 4, déjà est sous-jacent le théorème, pourtant, au cours des 19 années qui suivent (jusqu’en 1659) où il continuera de se passionner pour les mystères des nombres, et même jusqu’à sa mort en 1665, l’existence – ou la non-existence – d’un théorème général ne sera jamais évoquée, ce qui serait difficilement admissible si nous n’avions fait état des arguments précédents. Réserve-t-il ce théorème pour une remarque au Diophante, et pour lequel son fils devra trouver un éditeur ? C’est à mon sens la meilleure explication.

– Si aucun mathématicien ne veut s’interroger sur la cause de ces bizarreries, et sur bien d’autres choses encore (« même si Fermat était un génie facétieux, je sais que c’était aussi un magistrat intègre, sérieux, respectable et respecté, je suis bien certain que cet honnête homme ne se serait jamais abaissé à se fiche ainsi de moi ! Pour quelle raison, d’ailleurs, l’aurait-il fait ? »), eh bien tant pis, « on continuera comme avant. »

– Si un mathématicien s’avisait un jour qu’il y a beaucoup de choses étranges sur le legs de Fermat mais qu’il ne parvient pas à faire apparaître une démonstration (qui risque d’être complexe) à l’aide des outils arithmétiques fondamentaux, eh bien tant pis, « on continuera comme avant. »

Il est possible que des mathématiciens qui liraient ces remarques les trouvent infondées. Il peuvent aussi estimer que les arguments parfois très étranges avancés pendant des siècles pour décrédibiliser Fermat sont eux très fondés, juger aussi que les bizarreries présentes sur la note du plus célèbre théorème de Fermat, le théorème qui a fait couler le plus d’encre au monde (beaucoup plus que pour la tache simulant le t de detexi !) sont tout à fait admissibles et pertinentes, chacun en effet voit midi à sa porte, porte que Pierre fermat mais pas complètement, nous laissant deux petites clefs à peine cachées dans deux des trois entrées de son dernier refuge.

Vers 1800 on pouvait prouver le théorème pour les valeurs de n égales à 3, 4 et leurs multiples respectifs, puis, avec une première grande avancée due aux travaux de Sophie Germain, pour n=5, 14, 7. Cinquante ans plus tard, alors que les mathématiciens désespèrent de pouvoir trouver une preuve arithmétique du dernier théorème de Fermat qui reste à démontrer, Ernst Kummer amorce un virage qui va donner une tout autre tournure à l’affaire. Changeant radicalement d’approche il a l’idée de faire appel aux nombres complexes, de développer la théorie des nombres complexes idéaux (théorie qui allait devenir un outil très important de l’algèbre). Finalement il démontre le théorème pour tous les exposants inférieurs à 100, tout en continuant d’affirmer que ce problème n’était qu’une curiosité. C’est une nouvelle grande avancée qui, même partielle et très relative, suscite l’enthousiasme chez les savants qui jusqu’alors n’avaient guère progressé. Mais le pli est pris puisqu’on abandonne définitivement la pure recherche élémentaire pour tenter de démontrer le théorème, d’autant que la nouvelle voie est riche de promesses pour la nouvelle mathématique. Désormais on va plutôt se consacrer à explorer cette nouvelle, étrange et complexe espèce de nombres, dont on voit qu’ils vont nous aider à aller beaucoup plus avant dans la compréhension des nombres premiers, en étudiant les questions mathématiques les plus profondes, comme celle de Fermat, même, et bien d’autres. Jacques Roubaud note qu’à partir de ce moment, il devient impossible à un mathématicien ne possédant pas comme Fermat autant de connaissances en arithmétique élémentaire, d’avoir accès à ses raisonnements. On recommencera donc à étudier le Fermat, mais différemment. Oui ce sera difficile, oui ce sera complexe, mais au moins l’espoir est revenu, et surtout on doute encore plus que Fermat aurait pu démontrer son théorème.

Ainsi, depuis 1670, au fil des années, puis des siècles, tout un empilage de mauvais arguments s’est progressivement érigé, arguments qui s’additionnaient les uns aux autres pour se fortifier mutuellement, et tenter ainsi de prouver que Fermat n’a jamais eu la preuve de ce qu’il avançait. Ses autres théorèmes ont résisté beaucoup moins longtemps et donc reçu meilleur accueil. Une telle somme de tentatives faites pour discréditer un théorème qui semblait trop inaccessible – voire même impossible à démontrer – procède-t-elle d’une quelconque logique ? Puisqu’on ne parvient pas à trouver la preuve arithmétique de Fermat, il faut imaginer des non preuves à sa preuve ! « Ainsi, des mathématiciens qui avaient fait de vains efforts pour démontrer les théorèmes trouvés par Fermat ont voulu jeter quelque doute sur la réalité des démonstrations qu’il déclarait posséder, et ont supposé que ce grand géomètre était parvenu à certains résultats plutôt par induction et un peu au hasard que par une analyse rigoureuse de la question. » (Libri, XIX^e siècle). Nous non plus ne suivrons pas les péremptoires contempteurs qui « pensent savoir tout ce qu’il y a à savoir, dès les commencements », les laissant à leurs certitudes et à leur logique incertaine. Revenons à notre étude : avec la dernière proposition plusieurs fois suggérée, Fermat adopte la posture de celui qui réclame de l’aide à tous. C’est en opposition avec l’habitude de l’époque, et encore bien plus chez lui ! Il soumet même cette proposition à Pascal (1654), qui a pourtant abandonné l’arithmétique depuis longtemps pour se consacrer à la théologie. Fermat, ayant jaugé les plus grands mathématiciens de l’époque, peut douter qu’ils puissent facilement parvenir à leur fins. Mais l’essentiel pour Fermat n’est pas là, l’étude de la science des nombres n’a pas de limites, il veut « faire passer dans l’esprit de ceux qui viendraient après [lui] la Relation des nouvelles découvertes en la science des nombres pour traditio lampadis ad filios » (pour transmettre le flambeau aux enfants, aux successeurs) (lettre à Carcavi et à Huygens de 1659). Ne nous fait-il pas là aussi, mais dans une lettre cette fois – une lettre testament –, un nouveau clin d’œil ?

VI. Le latin, « marqueur du sublime par excellence » dans les mathématiques

Avec l’autorisation des Éditions DROZ, et de deux des auteurs, Ludivine Goupillaud et Emmanuel Bury, que je remercie chaleureusement ici, voici quelques citations, extraites de l’ouvrage : Tous vos gens à latin. Le latin, langue savante, langue mondaine (XIV^e-XVII^e siècles), Actes du colloque de l’Université de Saint-Quentin-en-Yvelines, à Paris E. N. S Ulm [compte-rendu] (2006).

« Ludivine Goupillaud s’est interrogée sur l’usage du latin chez le mathématicien Pierre de Fermat (1601-1665) […]. Selon L. Goupillaud, le mérite du latin, aux yeux de Fermat, est d’être une langue rigoureuse conforme aux exigences des mathématiques, ce que ne permettent pas alors les langues vernaculaires. Langue fixée de longue date par des normes grammaticales, elle peut fonctionner aisément comme une « machine à coder et à décoder », même si, comme on le voit sous la plume de Fermat, elle exige parfois des gloses en français pour expliciter le sens exact des termes employés. Cela dit, le caractère formulaire des sentences latines, à la fois gage de clarté et d’élégance, permet la fixation des règles dégagées, sans l’embarras de la glose explicative : la concision – on sait combien les mathématiciens de l’âge classique aiment sauter les étapes intermédiaires du raisonnement – suscite réaction et activité de la part du lecteur, quitte à prendre le risque de l’ellipse énigmatique ou du cryptage (ne sommes-nous pas alors dans l’âge d’or du concetto, où le modèle latin demeure prédominant ?) S’il existe un sublime en mathématique, le latin en est, selon L. Goupillaud, le « marqueur » par excellence, suscitant l’admiration devant les abîmes ouverts par les raisonnements mathématiques. […] Oublier le latin aujourd’hui, c’est donc prendre le risque de fausser les perspectives et d’être frappé d’une amnésie partielle de ce qui a constitué et qui constitue encore le patrimoine de notre culture européenne. » Emmanuel Bury

Pour Ludivine Goupillaud, Fermat s’attribuait un rôle d’« éclaireur », « ouvrant la piste à ceux qui auront le courage de le suivre. » Elle emploie à son sujet les expressions : « course folle », « boulimie d’expérience nouvelles », « état proche de la transe et de l’enthousiasme (au sens étymologique du terme : du grec ‘enthousia’, inspiration divine, et ‘théos’, dieu) », « admiration devant les abîmes ouverts par les raisonnements mathématiques ». Elle cite aussi l’auteur (inconnu) du Traité du Sublime : « La marque infaillible du sublime, c’est quand nous sentons qu’un discours nous laisse beaucoup à penser, qu’il fait d’abord un effet sur nous, auquel il est bien difficile, sinon impossible, de résister, et qu’ensuite le souvenir nous en dure, et ne s’efface qu’avec peine. » Elle cite aussi Fermat : « Je ne puis donner ici la démonstration, qui découle des mystères multiples, variés et impénétrables, de la science des nombres ; j’ai décidé de consacrer un livre entier à ce sujet et de repousser d’une façon étonnante les bornes de cette branche de l’arithmétique, au-delà des limites anciennement connues. » (Observation XVIII sur son Diophante). Les interprétations que l’on peut faire de ce que nous a livré Fermat en arithmétique, jusque dans ses correspondances, dépendent du regard, confiant ou sceptique, que l’on y porte. Dans son livre Un théorème de Fermat et ses lecteurs, C. Goldstein, donne un joli exemple (p.87) « qui illustre élégamment l’efficacité et la sobriété légendaire de Fermat ». Fermat avait heureusement à sa disposition le latin, langue des savants et des lettrés dans laquelle il excellait, et qui convenait parfaitement à son désir de condenser ses énoncés (dans ses 48 observations par exemple), y utilisant l’ellipse pour ne pas s’embarrasser de périphrases alourdissant des formulations alors rendues absconses. Et puisqu’il manquait cruellement de temps cette méthode lui convenait d’autant plus. Il écrivait à Mersenne : « J’ay si peu de commodité d’écrire mes démonstrations… que je me contente d’avoir découvert la vérité et de sçavoir le moyen de la prouver lorsque j’auray le loisir de le faire. » Comprenons que c’est surtout le peu de loisir dont il disposait qui l’empêchait de développer complètement, dans tous leurs détails, des démonstrations souvent très complexes : un esprit si rigoureux et minutieux n’aurait pu se satisfaire de démonstrations plus développées mais pas totalement, qui n’auraient donc pas été parfaites. Libri écrivait à propos de Fermat : « Satisfait de vaincre les plus grandes difficultés, il communiquait ses découvertes à ses amis, à des géomètres tels que Pascal, Descartes, Roberval, Frenicle, Wallis, Torricelli, Huygens, et souvent il ne gardait pas même copie des démonstrations qu’il leur adressait. C’était surtout par l’entremise du père Mersenne, dont la correspondance était si étendue, que se faisaient ces communications. » Fermat préférait utiliser son temps libre (c’était un magistrat assidu et très dévoué) à faire progresser ses travaux personnels par des échanges avec ses correspondants, échanges qui avaient l’avantage de stimuler les deux parties. Les historiens qui se sont penché sur ses travaux et l’ont souvent dénigré n’ont pas suffisamment pris en compte cet aspect psychologique, négligeant trop ce qu’autorisait la stratégie du défi : ne livrer des indices qu’au compte gouttes, et parfois uniquement quand les discussions stagnaient trop longtemps. Reconnaissons en outre que si Fermat avait tout révélé de ses découvertes, nos mathématiques actuelles n’en seraient pas à ce niveau (tous les travaux que son théorème, surtout, a déclenchés). C’était non seulement un professionnel dans son domaine, mais aussi un pionnier, un visionnaire. La touche finale, la french touch – ou plutôt la touche latine –, a été cette observation énigmatique que nous a livrée son fils Samuel : à sa mort, il ne mettait pas un terme à son travail de pédagogue (le génie de Fermat il est là aussi), il mettait un point d’orgue à la démarche qui lui avait si bien réussi de son vivant, sans trop se fatiguer et en livrant le plus gros de ses défis par un sublime pied de nez à tous ses détracteurs, avant de goûter un repos bien mérité. À notre époque il aurait été un professeur de mathématiques remarquable, suscitant chez ses élèves, par les questions les mieux choisies, le goût de faire de grandes découvertes. Qu’aurait apporté, aussi, à cet homme remarquable d’exposer noir sur blanc, de son vivant, quelques pages qui auraient risqué de le sortir l’ombre malgré les jeunes savants progressistes qui arrivaient et qui n’avaient que faire de ses travaux datés ? Sortir de l’ombre, le souhaitait-il, lui si attaché à la tranquillité dans son travail assidu de juriste dans lequel il prenait parfois des risques en combattant l’injustice, à une époque troublée par les conflits religieux et les luttes de pouvoir – c’était l’époque de Richelieu, Mazarin. Au fait, pourquoi Fermat aurait-il tant désiré rencontrer Pascal, comme on le lit dans une étrange lettre de juillet 1660, alors même qu’il ne pouvait plus rien attendre de lui ? Tous deux étaient en outre déjà très malades. Alors pourquoi ne pas lui transmettre un courrier, tout simplement ?

VII. Vēnī, vīdī, vīcī, văle : 4 mots écrits par Pierre Fermat entre les lignes

• Étrange ? que le mot detexi ait été transformé à deux reprises au moins.
• Étrange ? que cette note n°2 ait été si souvent mal traduite ? Non puisque l’on est toujours resté ‘bloqué’ sur ce qui était arithmétique. En outre, c’est la dernière phrase, très curieuse, qui était intrigante, et c’était déjà bien assez !
• Étrange ? que dans ses écrits, quand il l’estimait nécessaire, Fermat utilisait toutes les subtilités du latin.
• Étrange ? qu’il ait écrit ses observations du Diophante en latin.
• Étrange ? qu’il ait tenu à ce que le titre de cette note soit écrit en toutes lettres ?
• Étrange ? qu’on n’ait jamais retrouvé ce Diophante ?
• Étrange ? que s’il n’eût pas été certain de sa preuve, sachant qu’un jour on aurait pu montrer que son théorème était faux, il ait pu envisager une seconde être encore moqué après sa mort ? La gloire mathématique qu’il avait si largement méritée après un travail ardu et acharné étant loin de lui être indifférente, en particulier parce qu’il désirait que la science des nombres fasse de gros progrès à la suite de ses travaux. Le grand Fermat pouvait-il envisager une seule seconde cette éventualité d’être moqué ?
• Étrange ? qu’il ait soumis sa conjecture (fausse) des nombres de la forme 2²ⁿ+1 à tous ses correspondants.
• Étrange ? qu’il se soit obstiné à le faire sur une période de 19 ans (!).
• Étrange ? que ce soit la dernière formulation qui ait été aussi ambigüe, celle qui fut adressée à un jeune mathématicien de 30 ans (Huygens), le dernier mathématicien qui aurait peut-être pu tenter de le suivre .
• Étrange donc ? que Fermat semble avoir tout fait pour que ce soit celle-là, la dernière, qui devienne après sa mort la plus célèbre de ses remarques sur les nombres 2²ⁿ+1.
• Étrange ? que Samuel de Fermat ait certainement fait un pieux mensonge en nous laissant croire que son père avait écrit certaines très longues observations… dans la marge ! 🙂
• Étrange ? Vraiment ? Que Fermat, s’il avait une preuve de son grand théorème, ne l’ait jamais dévoilée de son vivant.
• Étrange ? qu’il ait voulu que l’existence même de son Grand Théorème ne soit connue qu’après sa mort ? On devine qu’il a longtemps eu, lui si friand des généralisations, ce théorème à l’esprit. Pourquoi alors n’en a-t-il jamais parlé ?
• Étrange ? que Fermat ait pris autant de risques en faisant douter la postérité sur ses compétences.
• Étrange ? qu’il ait pu désirer prendre sa revanche et sereinement envisager de fourvoyer ses détracteurs quant à sa possession d’une preuve – surtout quand il ne serait plus là, ce qui a dû beaucoup l’amuser…
• Étrange ? qu’il ait voulu laisser son emprunte dans l’histoire des mathématiques.
• Étrange ? qu’il ait fallu attendre 324 ans pour que l’on prouve que son théorème était vrai – bien qu’avec des moyens assez particuliers, la stratégie utilisée, bien loin d’être limpide, est d’ailleurs indirecte.
• Étrange ? que tant d’historiens et de mathématiciens aient tenté de prouver avec des tonnes de mauvais arguments que Fermat n’a jamais eu de preuve.
• Étrange ? que dans une affaire criminelle complexe, s’il s’avérait impossible de trouver la moindre preuve de culpabilité du prévenu, qu’au contraire une multitude d’indices plaidaient en faveur de son honnêteté, celui-ci serait considéré coupable par de grands juristes universellement réputés ?

Nous avons montré combien Fermat souhaitait que les mathématiciens le suivent dans ses difficiles travaux. Nous savons aussi que c’était un habile stratège. Les mauvaises langues pourraient penser que finalement, il a pu être un peu machiavélique. Quant à nous, nous pouvons dire qu’il n’y a rien d’étrange à ces pseudo-étrangetés, qui sont non seulement son ultime défi mais surtout le plus sublime.

Fermat cherche à appréhender le principe premier du nombre. Cette perception restant toujours englobante, il ne prend pas les chemins de traverse qui l’en auraient éloigné, il cherche à en saisir la quintessence, la saveur première, et le mode de relation très fin, vertigineux même, qu’à plusieurs ils ont entre eux. « On a en effet le sentiment d’une aspiration profonde de Fermat vers une métaphysique des nombres, une sorte de transcendance arithmétique aux reflets pythagoriciens, […] » (Ludivine Goupillaud). En un temps très court Fermat a assemblé les maillons de sa chaîne de compréhension. L’énoncé du grand théorème, aussi simple que l’énoncé du théorème de Pythagore, paraît compléter et confirmer ce légendaire théorème, être à la fois évident et d’une démonstration inaccessible, mettant en relation étroite mais en opposition radicale le nombre 2 et l’infinité des autres nombres, majorant encore la singularité de la pluralité de ce nombre, comme si tout commençait et finissait avec lui. Fermat percevait, autant que Parménide et Pythagore, mieux que ses contemporains, que lorsque les hommes ont posé 1, puis 2, tout est déjà posé, l’unicité, la pluralité du monde. Un pur fantasme laisserait croire qu’une preuve ‘’élémentaire’’ nous révélerait autant de choses que nous en a révélées le théorème de Pythagore, un peu comme si elle pouvait nous faire tout comprendre de tous les nombres, mais surtout comme si ce nombre 2 était la clef. À quoi pourrait ressembler une telle preuve ? Serait-elle aussi remarquable par son élégance que l’énoncé du théorème dans sa simplicité ? En voyant d’une part les efforts de Fermat pour nous assurer qu’il avait effectivement une preuve, d’autre part les doutes, sur ses compétences, qu’il a pu vouloir créer chez les sceptiques, bref en voyant toute sa façon d’agir, dans ses correspondances et en particulier les dernières, ainsi que dans cette deuxième observation du Diophante bien sûr, beaucoup de choses me font croire qu’il avait réellement sa preuve, il ne se serait d’ailleurs pas moqué de nous à ce point, c’était un homme bien trop intègre.

Nul ne sait si quelqu’un pourra un jour faire quelques pas au moins en direction de cette preuve et pour ma part j’ai un gros doute. Si néanmoins un mathématicien ou une mathématicienne devait un jour y parvenir, je crois que cette personne devrait avoir moins de trente ans, serait quelqu’un de très atypique (évidemment pas moutonnier pour un sou), très enthousiaste, fortement motivé, assez secret, et aurait surtout beaucoup de temps libre. Un tel oiseau rare peut-il exister ? Quoi qu’il en soit, être assuré un jour qu’une telle preuve “élémentaire” (avec beaucoup de guillemets) existe et pouvoir la contempler serait bien apaisant après ce sentiment quelque peu irritant qu’on avait pu ressentir en découvrant la preuve extraordinairement complexe d’Andrew Wiles, un véritable traité de mathématiques complètement novatrices, qui avait pu être élaboré, aussi, grâce aux efforts fournis par toute une communauté de mathématiciens appliqués à faire progresser la théorie des nombres dans la longue période qui avait précédé. Devant une preuve “élémentaire”, nous pourrions contempler la beauté, la vérité, la logique, dans le “simple”, mais un simple qui aurait été élaboré avec une grande intelligence. Que la preuve moderne de Wiles (qui depuis a quand même été largement simplifiée) ait son pendant dans une preuve élémentaire est tout à fait envisageable et paraît assez naturel. Ce serait merveilleux si nous pouvions un jour en être les témoins. Fermat avait ses raisons de ne pas tout révéler, nous devons juste l’accepter, même si c’est difficile. Pour ma part je ne regrette rien. Il nous aura certes bien occupés, mais quoi de plus intéressant qu’un monde, notre monde, à explorer, à tenter d’appréhender ? Pour conclure, après des années de réflexion, si nous devions donner une probabilité en faveur d’une preuve de Fermat à partir du triangle “de Pascal”, nous dirions qu’elle est de 95%. Qu’on n’oublie pas cependant que votre serviteur n’est en aucun cas un mathématicien !

VIII. Réflexions au fil de l’eau

18 décembre 2017. Il y a quelques heures je félicitais Catherine Goldstein (j’ai 6 mois de retard) pour l’honneur qui vient de lui être rendu, elle est en effet sélectionnée pour donner une conférence plénière au Congrès International des Mathématiciens qui se tiendra à partir du 1^er août 2018 à Rio de Janeiro. J’en suis très heureux pour elle, et pour l’histoire des math qui de mon point de vue n’a pas la place qu’elle mérite. Cette nouvelle m’ayant mis de très bonne humeur, j’ai pris mon dîner sur mon bureau (ça sert à beaucoup de choses un bureau) et je ne sais pourquoi (ou plutôt je le sais très bien), avec devant les yeux cette page 61 où figure le detexi avec le ‘i’ transformé en un ‘s’ parfait. Mon regard s’est posé au-dessus de la note (je ne sais pourquoi) et j’ai lu « OBSERVATIO DOMINI PETRI DE FERMAT » écrit en toutes lettres (et en capitales). Bon sang oui j’avais déjà parlé de cette importance, mais en revoyant ce titre et cette nouvelle version très bizarre juste en-dessous, et quasi persuadé depuis quelques semaines (je viens de relire une nouvelle fois le livre de Jean Rousseau et Laurent Hua) que les 48 observations n’avaient pas été écrites dans la marge du Diophante (je m’en doutais depuis longtemps, certain que Fermat avait expliqué à son fils comment cette note devait être transmise à la postérité), je me dis qu’il faut porter une extrême attention à cette note dont le titre n’est pas abrégé comme tous les autres en « OSERVATIO D.P.F. », qu’il veut nous donner un signal nous invitant à étudier tout ce qu’on pourra trouver non seulement de profond dans ses travaux mais aussi d’insolite, surtout dans ses derniers écrits, tout cela donnant l’aspect d’un testament caché, comme si nous pouvions être son dernier recours, puisque ses contemporains impuissants à le suivre l’avaient lâché les uns après les autres. Si Fermat ne fait jamais rien au hasard, est-ce, à la fin de sa vie, aux hasards du destin qu’il laisse le soin de décider de l’avenir d’un théorème qu’il affirme avoir véritablement découvert par une démonstration admirable ?

5 mars 2018. Plus un savant sera réputé qui écrira que jamais Fermat n’a pu découvrir une démonstration avec ses propres outils, et plus ma conviction que le Prince des amateurs est, encore de nos jours, un formidable mathématicien, pédagogue, psychologue, philosophe, approchera les 99,99 %. Plus seront péremptoires et nombreux ces puissants savants, et plus je serai heureux de ne pas avoir une tête “bien pleine” 😉

Claude Mariotti

claude-mariotti (at) orange.fr

Remerciements

Merci à Catherine GOLDSTEIN pour l’éclairage que m’ont apporté ses travaux d’experte, pour des échanges très chaleureux avec un anonyme non mathématicien, pour ses encouragements, bref pour son soutien en général, qui me fut fort précieux. J’ai aussi beaucoup apprécié Un théorème de Fermat et ses lecteurs, magnifique par tout ce qu’il apporte d’enseignements. C’est un livre très ardu, mais même moi qui ne suis pas mathématicien, j’ai pu en tirer grand profit.

Merci à Laurent HUA et Jean ROUSSEAU pour leur ouvrage, qui a été ma première source d’inspiration et m’est toujours précieux à ce jour.

Merci à Aurélien ALVAREZ, à Albert VIOLANT i HOLZ pour son ouvrage L’énigme de Fermat –- trois siècles de défi mathématique.

Bibliographie restreinte

• Alexandre Grothendieck : RÉCOLTES ET SEMAILLES – Réflexions et témoignage sur un passé de mathématicien
• Catherine Goldstein :
• Un théorème de Fermat et ses lecteurs, Éditions des Presses universitaires de Vincennes (PUV), 1995. Voir l’article de Alain Herreman et l’article de Hélène Gispert au sujet de l’ouvrage.
• L’arithmétique de Pierre de Fermat dans le contexte de la correspondance de Mersenne : une approche microsociale, Sciences et techniques en perspective, IIe série, 8, (1), p. 14-47. [fichier PDF, 620 Ko], 2004.
• Descente infinie et analyse diophantienne : programmes de travail et mise en oeuvre chez Fermat, Levi, Mordell et Weil, Cahier du Séminaire d’histoire et de philosophie des mathématiques, 2e série, volume 3, 1993, p. 25-49. [fichier PDF, 152 Ko], 1993.
• Avec Karim Belabas : « Fermat et son Théorème (et quelques variations arithmético-cryptographiques) », Orsay Info, vol. 57,‎ novembre 1999, version préliminaire.
• Laurent Hua et Jean Rousseau : Fermat a-t-il démontré son grand théorème ? L’hypothèse « Pascal », Essai. L’Harmattan, 2002. La 1^ère partie (128 pages) est une étude historique : Fermat, vie, œuvre, premières formulations partielles et leur contexte, dernières formulations partielles, diverses formulations dans son Diophante.
• Albert Violant I Holz : L’énigme de Fermat – trois siècles de défi mathématique, RBA (es) – Le Monde, coll. « Le Monde est mathématique » (n° 9), 2013, 154 p.
• Jacques Roubaud : Mathématique : (récit), Seuil, 1997.
• Tous vos gens à latin – Le latin langue vivante, langue savante, langue mondaine (XIV^e-XVII^e siècles), Éditions Droz, 2005, dont une étude de Ludivine Goupillaud : Demonstrationem mirabilem detexi : mathématique et merveille dans l’œuvre de Pierre de Fermat.

Lien utile

Le site de Roland Franquart, qui a découvert que la note de Fermat était encodée, et qui propose son décryptage.

Si vous souhaitiez vérifier, ou étudier par vous-même, la traduction de cinq mots latins importants utilisés dans cet article, vous pourriez avantageusement consulter ce Dictionnaire Latin-Français très complet, réalisé à partir de sept autres dictionnaires (Gaffiot, Lebaigue…)